Uma série de Taylor é uma representação de uma função usando uma soma infinita. Os computadores costumam fazer aproximações dos valores de um valor trigonométrico, exponencial ou outro transcendental função somando um número finito dos termos de sua série de Taylor, e você pode recriar esse processo em Pitão. Os termos da soma são baseados em derivadas sucessivas da função, portanto, você precisará identificar um padrão nos valores dessas derivadas para escrever uma fórmula para cada termo da série. Em seguida, use um loop para acumular a soma, controlando a precisão de sua aproximação com o número de iterações do loop.
Passo 1
Consulte a definição da série de Taylor para entender como cada termo pode ser calculado. Cada termo da série é indexado, normalmente por "n", e seu valor está relacionado à enésima derivada da função representada. Para simplificar, use 0 para o valor de "a" em sua primeira tentativa. Esta versão especial da série Taylor é chamada de série Maclaurin. Experimente a função seno, uma vez que suas derivadas sucessivas são fáceis de determinar.
Vídeo do dia
Passo 2
Anote vários valores da n-ésima derivada da função seno avaliada em 0. Se n for 0, o valor será 0. Se n for 1, o valor será 1. Se n for 2, o valor será 0. Se n for 3, o valor será -1. A partir daqui, o padrão se repete, portanto, desconsidere todos os termos com indexação par da série de Taylor, pois são multiplicados por 0. Uma fórmula para cada termo da série resultante é:
(-1) ^ n / (2n + 1)! * X ^ (2n + 1)
"2n + 1" é usado no lugar de "n" para reindexar a série, descartando efetivamente os termos indexados por pares sem alterar o próprio índice. O fator (-1) ^ n é responsável pela alternância entre termos positivos e negativos de termos sucessivos. Este trabalho matemático preliminar pode parecer estranho, mas o código Python será muito mais fácil de escrever e reutilizar em outras séries de Taylor se o índice sempre começar em 0 e contar para cima em incrementos de 1.
etapa 3
Abra o interpretador Python. Comece digitando os seguintes comandos para definir várias variáveis:
soma = 0 x = 0,5236
A variável "soma" será usada para acumular a soma da série de Taylor à medida que cada termo é calculado. A variável "x" é o ângulo (em radianos) para o qual você deseja aproximar a função seno. Defina como quiser.
Passo 4
Importe o módulo "matemático" com o seguinte comando para ter acesso às funções "pow" e "fatorial":
importar matemática
Etapa 5
Inicie um loop "for", definindo o número de iterações com a função "range":
para n no intervalo (4):
Isso fará com que a variável de índice, n, comece em zero e conte até 4. Mesmo esse pequeno número de iterações produzirá um resultado surpreendentemente preciso. O loop não é executado imediatamente e não começará até que você especifique todo o bloco de código para iterar.
Etapa 6
Digite o seguinte comando para adicionar o valor de cada termo sucessivo à "soma:"
soma + = math.pow (-1, n) /math.fatorial (2 * n + 1) * math.pow (x, 2 * n + 1)
Observe que o comando é indentado com uma guia, o que indica ao Python que ele faz parte do loop "for". Observe também como "pow" e "fatorial" são usados no lugar de "^" e "!" notação. A fórmula à direita do operador de atribuição "+ =" é idêntica à da Etapa 2, mas escrita na sintaxe Python.
Etapa 7
Pressione “Enter” para adicionar uma linha em branco. Para Python, isso indica o término do loop "for", então o cálculo é executado. Digite o comando "sum" para revelar o resultado. Se você usou o valor de x fornecido na Etapa 3, o resultado é muito próximo a 0,5, o seno de pi / 6. Tente o processo novamente para diferentes valores de xe para diferentes números de iterações do loop, comparando seus resultados com a função "math.sin (x)". Você implementou em Python o mesmo processo que muitos computadores usam para calcular valores para seno e outras funções transcendentais.
Dica
Recue e digite o comando "sum" na segunda linha do loop "for" para obter um total contínuo da soma conforme o código é executado. Isso revela como cada termo sucessivo da série traz a soma cada vez mais perto do valor real da função.
