Πώς να γράψετε μια σειρά Taylor στην Python

Συμβουλευτείτε τον ορισμό της σειράς Taylor για να κατανοήσετε πώς μπορεί να υπολογιστεί κάθε όρος. Κάθε όρος της σειράς είναι ευρετηριασμένος, τυπικά με "n", και η τιμή του σχετίζεται με την ντη παράγωγο της συνάρτησης που αναπαρίσταται. Για λόγους απλότητας, χρησιμοποιήστε το 0 για την τιμή του "a" στην πρώτη σας προσπάθεια. Αυτή η ειδική έκδοση της σειράς Taylor ονομάζεται σειρά Maclaurin. Δοκιμάστε τη συνάρτηση ημιτόνου, καθώς οι διαδοχικές παράγωγοί της είναι εύκολο να προσδιοριστούν.

Γράψτε αρκετές τιμές της νης παραγώγου της ημιτονικής συνάρτησης που υπολογίζεται στο 0. Εάν το n είναι 0, η τιμή είναι 0. Εάν το n είναι 1, η τιμή είναι 1. Εάν το n είναι 2, η τιμή είναι 0. Εάν το n είναι 3, η τιμή είναι -1. Από εδώ, το μοτίβο επαναλαμβάνεται, επομένως αγνοήστε κάθε όρο με ζυγό δείκτη της σειράς Taylor, καθώς πολλαπλασιάζεται με το 0. Ένας τύπος για κάθε όρο της σειράς που προκύπτει είναι:

(-1)^n/(2n+1)!*x^(2n+1)

Το "2n+1" χρησιμοποιείται στη θέση του "n" για την εκ νέου ευρετηρίαση της σειράς, απορρίπτοντας ουσιαστικά τους άρτιους όρους χωρίς αλλαγή του ίδιου του ευρετηρίου. Ο παράγοντας (-1)^n ευθύνεται για την εναλλαγή μεταξύ θετικού και αρνητικού διαδοχικών όρων. Αυτή η προκαταρκτική εργασία μαθηματικών μπορεί να φαίνεται ξένη, αλλά ο κώδικας της Python θα είναι πολύ πιο εύκολο να γραφτεί και να επαναχρησιμοποιηθεί σε άλλες σειρές Taylor εάν ο δείκτης ξεκινά πάντα από το 0 και μετράει προς τα πάνω σε προσαυξήσεις του 1.

Ανοίξτε τον διερμηνέα Python. Ξεκινήστε πληκτρολογώντας τις ακόλουθες εντολές για να ορίσετε πολλές μεταβλητές:

άθροισμα = 0 x = ,5236

Η μεταβλητή "sum" θα χρησιμοποιηθεί για τη συσσώρευση του αθροίσματος της σειράς Taylor καθώς υπολογίζεται κάθε όρος. Η μεταβλητή "x" είναι η γωνία (σε ακτίνια) για την οποία θέλετε να προσεγγίσετε την ημιτονοειδή συνάρτηση. Ρυθμίστε το σε ό, τι θέλετε.

Εισαγάγετε την ενότητα "μαθηματικά" με την ακόλουθη εντολή, ώστε να έχετε πρόσβαση στις συναρτήσεις "pow" και "factorial":

εισαγωγή μαθηματικών

Ξεκινήστε έναν βρόχο "για", ορίζοντας τον αριθμό των επαναλήψεων με τη συνάρτηση "εύρος":

για n στην περιοχή (4):

Αυτό θα κάνει τη μεταβλητή ευρετηρίου, n, να ξεκινά από το μηδέν και να μετράει μέχρι το 4. Ακόμη και αυτός ο μικρός αριθμός επαναλήψεων θα δώσει ένα εκπληκτικά ακριβές αποτέλεσμα. Ο βρόχος δεν εκτελείται αμέσως και δεν θα ξεκινήσει μέχρι να καθορίσετε ολόκληρο το μπλοκ κώδικα για επανάληψη.

Πληκτρολογήστε την ακόλουθη εντολή για να προσθέσετε την τιμή κάθε διαδοχικού όρου στο "sum:"

άθροισμα += math.pow(-1,n)/math.factorial (2*n+1)*math.pow (x, 2*n+1)

Παρατηρήστε ότι η εντολή έχει εσοχή με μια καρτέλα, η οποία υποδεικνύει στην Python ότι είναι μέρος του βρόχου "for". Σημειώστε επίσης πώς χρησιμοποιούνται τα "pow" και "factorial" αντί των "^" και "!" σημειογραφία. Ο τύπος στα δεξιά του τελεστή εκχώρησης "+=" είναι πανομοιότυπος με αυτόν στο Βήμα 2, αλλά είναι γραμμένος σε σύνταξη Python.

Πατήστε "Enter" για να προσθέσετε μια κενή γραμμή. Για την Python, αυτό υποδηλώνει τον τερματισμό του βρόχου "for", οπότε ο υπολογισμός εκτελείται. Πληκτρολογήστε την εντολή "sum" για να εμφανιστεί το αποτέλεσμα. Εάν χρησιμοποιήσατε την τιμή του x που δίνεται στο Βήμα 3, το αποτέλεσμα είναι πολύ κοντά στο 0,5, το ημίτονο του pi/6. Δοκιμάστε ξανά τη διαδικασία για διαφορετικές τιμές του x και για διαφορετικούς αριθμούς επαναλήψεων του βρόχου, ελέγχοντας τα αποτελέσματά σας σε σχέση με τη συνάρτηση "math.sin (x)". Έχετε εφαρμόσει στην Python την ίδια τη διαδικασία που χρησιμοποιούν πολλοί υπολογιστές για να υπολογίσουν τιμές για ημιτονοειδή και άλλες υπερβατικές συναρτήσεις.

Υπόδειξη